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106 台灣大學微積分(B) 第 13 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 13 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

  1. Suppose that f(t)f(t) is a continuous function on (1,∞)(1,\infty) satisfying ∫21+x3f(t) dt=ln⁡x\int_2^{1+x^3}f(t)\,\mathrm{d}t=\ln x, then f(10)=(13)‾f(10)=\underline{\quad(13)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 積分上限含 xx，使用微積分基本定理配合連鎖規則微分。
  • 為求 f(10)f(10)，再讓上限 1+x31+x^3 恰為 1010。

答題過程

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由 ff 連續，微積分基本定理可用。對題設兩邊微分：

3x2f(1+x3)=1x.3x^2f(1+x^3)=\frac1x.

要使 ff 的輸入值為 1010，令

1+x3=10,x3=9.1+x^3=10, \qquad x^3=9.

此時由上式得

f(10)=13x3=127.f(10)=\frac1{3x^3}=\boxed{\frac1{27}}.