微積分福音

106 台灣大學微積分(B) 第 12 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 12 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

Let $f(x)=e^x(e^x-1)(e^x-2)\cdots(e^x-106)$ . Find $f'(0)=\underline{\quad(12)\quad}$ .

解答

解法一

思路

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這是很長的乘積，但在 $x=0$ 時只有一個因子等於 $0$ 。
用乘積微分法後，所有未對該零因子微分的項仍含零，可立刻消失。

答題過程

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寫成

f(x)=e^x(e^x-1)\prod_{k=2}^{106}(e^x-k).

在 $x=0$ ，因子 $e^x-1$ 是唯一的零因子。依乘積法則，只有微分此因子的一項可能非零，而 $(e^x-1)'=e^x$ 。因此

\begin{align*} f'(0) =&\,e^0\cdot e^0\prod_{k=2}^{106}(1-k) \\ =&\,(-1)^{105}(1\cdot2\cdots105) \\ =&\,\boxed{-105!}. \end{align*}