題目

(15\%)

Let

\Omega

be the region

\{(x,y)\mid (x-1)^2+y^2<1\}

. Evaluate the double integral

\iint_\Omega \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

解答

展開

展開

令

x=1+r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

則 $0\le r<1$ 、 $0\le\theta\le2\pi$ ，且面積元素為 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 。由於 $x=0$ 只出現在邊界點 $(0,0)$ ，先積到半徑 $R<1$ 再取極限：

\begin{align*} \iint_\Omega\frac1x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =&\,\lim_{R\to1^-}\int_0^R\int_0^{2\pi} \frac{r}{1+r\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}r. \end{align*}

對 $0\le r<1$ ，標準積分

\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta}{1+r\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-r^2}}

給出

\begin{align*} \iint_\Omega\frac1x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =&\,\lim_{R\to1^-}\int_0^R\frac{2\pi r}{\sqrt{1-r^2}}\,\mathrm{d}r\\[4mm] =&\,\lim_{R\to1^-}2\pi\big(1-\sqrt{1-R^2}\big)\\[4mm] =&\,\boxed{2\pi}. \end{align*}

易錯提醒

雖然被積分函數在圓盤邊界的 $(0,0)$ 無定義，但不能只因分母可能為零就斷定積分發散；應以瑕積分的極限判斷，本題的極限確實存在。