題目 Problem (C). Evaluate ∫233+2x−x2 dx\int_2^3\sqrt{3+2x-x^2}\,\mathrm{d}x∫233+2x−x2dx. Answer: (4)‾\underline{\quad(4)\quad}(4). 解答 解法一 思路 展開 配方後可辨認為半徑 222 的圓弧積分。 答題過程 展開 令 u=x−1u=x-1u=x−1，則 ∫233+2x−x2 dx=∫124−u2 du.\int_2^3\sqrt{3+2x-x^2}\,\mathrm{d}x=\int_1^2\sqrt{4-u^2}\,\mathrm{d}u.∫233+2x−x2dx=∫124−u2du. 使用 ∫4−u2 du=u24−u2+2arcsinu2\int\sqrt{4-u^2}\,\mathrm{d}u=\frac u2\sqrt{4-u^2}+2\arcsin\frac u2∫4−u2du=2u4−u2+2arcsin2u，得到 2π3−32.\boxed{\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}}.32π−23.
