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105 台灣大學微積分(B) 第 2 題

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105學年度 · 105台大微積分B · 第 2 題

題目

Problem

(B). Find dydx=(2)‾\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\underline{\quad(2)\quad} and d2ydx2=(3)‾\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\underline{\quad(3)\quad} at the point x=1x=1, y=1y=1 of the curve x3+xy−2y4=0x^3+xy-2y^4=0.

解答

解法一

思路

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  • 先隱函數微分，再將一階導數式再微分一次。

答題過程

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對 x3+xy−2y4=0x^3+xy-2y^4=0 微分：

3x2+y+xdydx−8y3dydx=0.3x^2+y+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-8y^3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.

在 (1,1)(1,1) 得 4−7y′=04-7y'=0，故 y′=47y'=\frac47。再微分上式：

6x+2y′+xy′′−24y2(y′)2−8y3y′′=0.6x+2y'+xy''-24y^2(y')^2-8y^3y''=0.

代入 (x,y,y′)=(1,1,47)(x,y,y')=(1,1,\frac47)，可得 −7y′′=3449-7y''=\frac{34}{49}。因此

dydx=47,d2ydx2=−34343.\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac47,\qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=-\frac{34}{343}}.