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104 台灣大學微積分(C) 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

104學年度 · 104台大微積分C · 第 2 題

題目

2. (8%) 有一方程式 y2=x7+3x4−2x+2y^2=x^7+3x^4-2x+2,若 (0.998,b)(0.998,b) 滿足此方程式,則 bb 大約等於**__**(小數點下三位精確)。
題目勘誤

官方原題:若 (0.998,b)(0.998,b) 滿足 y2=x7+3x4−2x+2y^2=x^7+3x^4-2x+2,要求唯一的 bb。

實際上應為:右邊在 x=0.998x=0.998 時為正數,因此 bb 有一正一負兩個實根,不能唯一決定。

本頁保留官方原題,未替換原題條件。

解答

解法一

思路

  • 先把給定的 xx 代入右邊,確認平方根內為正。
  • 因為方程式是 y2=H(x)y^2=H(x),只要 H(x)>0H(x)>0,就必須同時保留正、負兩個平方根;這也正是原題無法唯一決定 bb 的原因。

答題過程

展開

令 H(x)=x7+3x4−2x+2H(x)=x^7+3x^4-2x+2。直接代入可得

H(0.998)≈3.966156>0.H(0.998)\approx3.966156>0.

因此

b2=H(0.998),b=±H(0.998)≈±1.991521.b^2=H(0.998),\qquad b=\pm\sqrt{H(0.998)}\approx\pm1.991521.

故依小數點下三位,兩個可能值是 b≈1.992\boxed{b\approx1.992} 與 b≈−1.992\boxed{b\approx-1.992};原題若要求單一答案,資訊並不足夠。