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104 台灣大學微積分(C) 第 11 題

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104學年度 · 104台大微積分C · 第 11 題

題目

11. 計算題：(10%) 求 ∫01x2sin⁡(x+1) dx\displaystyle\int_0^1 x^2\sin(x+1)\,\mathrm{d}x。

解答

解法一

思路

  • 多項式乘三角函數時，以分部積分逐次降低多項式次數。
  • 先找出一個方便代入上下限的原始函數，再代入 00 與 11。

答題過程

展開

連續分部積分兩次可得

∫x2sin⁡(x+1) dx=−x2cos⁡(x+1)+2xsin⁡(x+1)+2cos⁡(x+1)+C.\int x^2\sin(x+1)\,\mathrm{d}x =-x^2\cos(x+1)+2x\sin(x+1)+2\cos(x+1)+C.

因此

∫01x2sin⁡(x+1) dx= [−x2cos⁡(x+1)+2xsin⁡(x+1)+2cos⁡(x+1)]01= cos⁡2+2sin⁡2−2cos⁡1.\begin{align*} \int_0^1x^2\sin(x+1)\,\mathrm{d}x =&\,\Big[-x^2\cos(x+1)+2x\sin(x+1)+2\cos(x+1)\Big]_0^1\\[4mm] =&\,\cos2+2\sin2-2\cos1. \end{align*}

故答案為 cos⁡2+2sin⁡2−2cos⁡1\boxed{\cos2+2\sin2-2\cos1}。