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104 台灣大學微積分(B) 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

104學年度 · 104台大微積分B · 第 3 題

題目

Problem

一、填充題

  1. 設 y=y(x)y=y(x) 為滿足 x4+xy2+y3+1=0x^4+xy^2+y^3+1=0 在 (x,y)=(−1,−1)(x,y)=(-1,-1) 的鄰域(附近)所定義的可微分函數。則 y′(−1)=(3a)‾y'(-1)=\underline{\quad(3a)\quad}(4 分),而 y=y(x)y=y(x) 在 x=−1x=-1 的鄰域(附近)之行為(遞增或遞減、向上凹或向下凹)為 (3b)‾\underline{\quad(3b)\quad}(請填入:「遞增」或「遞減」)(4 分),且 (3c)‾\underline{\quad(3c)\quad}(請填入:「向上凹」或「向下凹」)(4 分)。

解答

解法一

思路

  • 對隱函數方程式微分求 y′y';再對一次導數式微分,藉 y′y'、y′′y'' 的正負判斷遞增與凹凸。

答題過程

展開

令 F(x,y)=x4+xy2+y3+1F(x,y)=x^4+xy^2+y^3+1。在 (−1,−1)(-1,-1),

Fx=4x3+y2=−3,Fy=2xy+3y2=1,F_x=4x^3+y^2=-3,\qquad F_y=2xy+3y^2=1,

故 y′=−Fx/Fy=3y'=-F_x/F_y=3。再由

Fxx+2Fxyy′+Fyy(y′)2+Fy y′′=0F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}(y')^2+F_y\,y''=0

得 12+2(−2)(3)+(−8)(3)2+y′′=012+2(-2)(3)+(-8)(3)^2+y''=0,所以 y′′=72>0y''=72>0。

因此 y′(−1)=3\boxed{y'(-1)=3},曲線在該鄰域 遞增\boxed{\text{遞增}} 且 向上凹\boxed{\text{向上凹}}。