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104 台灣大學微積分(B) 第 10 題

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104學年度 · 104台大微積分B · 第 10 題

題目

Problem

二、計算證明題

2.（12 分）

(a) 令 β>α>0\beta>\alpha>0。證明存在 θ0=θ0(α,β)\theta_0=\theta_0(\alpha,\beta) 使得

∫αβcos⁡θθ2 dθ=(cos⁡θ0)(1α−1β).\int_\alpha^\beta \frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta=(\cos\theta_0)\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\beta}\right).

(b) 利用上式證明 ∫1∞cos⁡θθ2 dθ\int_1^\infty \dfrac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta 收斂。

(c) 令 M>1M>1。導出

∫1Msin⁡θθ dθ=cos⁡1−cos⁡MM−∫1Mcos⁡θθ2 dθ\int_1^M \frac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta=\cos 1-\frac{\cos M}{M}-\int_1^M \frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta

。

(d) 證明 ∫1∞sin⁡θθ dθ\int_1^\infty \dfrac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta 與 ∫0∞sin⁡θθ dθ\int_0^\infty \dfrac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta 皆收斂。

解答

解法一

思路

  • (a) 把 1/θ21/\theta^2 視為正權重，對 cos⁡θ\cos\theta 使用積分中值定理。
  • (b) 以 (a) 給出的尾端估計證明柯西收斂；(c) 分部積分後即可把 (d) 化為已證收斂的積分。

答題過程

展開

(a) cos⁡θ\cos\theta 連續、1/θ2>01/\theta^2>0，加權積分中值定理給出某個 θ0∈(α,β)\theta_0\in(\alpha,\beta) 使

∫αβcos⁡θθ2 dθ=cos⁡θ0∫αβ1θ2 dθ=(cos⁡θ0)(1α−1β).\int_\alpha^\beta\frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta =\cos\theta_0\int_\alpha^\beta\frac{1}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta =(\cos\theta_0)\left(\frac1\alpha-\frac1\beta\right).

(b) 因此其絕對值不超過 1/α−1/β1/\alpha-1/\beta；令 α,β→∞\alpha,\beta\to\infty，尾端趨於零，故積分收斂。

(c) 分部積分（u=1/θu=1/\theta、dv=sin⁡θ dθ\mathrm{d}v=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta）得

∫1Msin⁡θθ dθ=cos⁡1−cos⁡MM−∫1Mcos⁡θθ2 dθ.\int_1^M\frac{\sin\theta}{\theta}\,\mathrm{d}\theta =\cos1-\frac{\cos M}{M}-\int_1^M\frac{\cos\theta}{\theta^2}\,\mathrm{d}\theta.

(d) 當 M→∞M\to\infty 時 cos⁡M/M→0\cos M/M\to0，再用 (b)，故 ∫1∞sin⁡θ/θ dθ\int_1^\infty\sin\theta/\theta\,\mathrm{d}\theta 收斂；sin⁡θ/θ\sin\theta/\theta 在 00 可延拓為連續函數 11，故加上 [0,1][0,1] 的定積分後，∫0∞sin⁡θ/θ dθ\int_0^\infty\sin\theta/\theta\,\mathrm{d}\theta 亦收斂。