題目 Problem 一、填充題 求整數 kkk 使得極限 L=limθ→0sin2(θk/3)(1−secθ)3L=\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin^2(\theta^k/3)}{(1-\sec\theta)^3}L=θ→0lim(1−secθ)3sin2(θk/3) 存在且非零，則 (k,L)=(1)‾(k,L)=\underline{\quad(1)\quad}(k,L)=(1)。（8 分） 解答 解法一 思路 比較分子、分母在 θ=0\theta=0θ=0 的首項次數；要使商收斂到非零常數，兩邊次數必須相同。 答題過程 展開 sin2(θk3)∼θ2k9,(1−secθ)3∼(−θ22)3=−θ68.\sin^2\left(\frac{\theta^k}{3}\right)\sim\frac{\theta^{2k}}9, \qquad (1-\sec\theta)^3\sim\left(-\frac{\theta^2}{2}\right)^3=-\frac{\theta^6}{8}.sin2(3θk)∼9θ2k,(1−secθ)3∼(−2θ2)3=−8θ6. 故 2k=62k=62k=6，即 k=3k=3k=3，並且 L=1/9−1/8=−89.L=\frac{1/9}{-1/8}=-\frac89.L=−1/81/9=−98. 所以 (k,L)=(3,−89)\boxed{(k,L)=\left(3,-\frac89\right)}(k,L)=(3,−98)。
