題目

(a) (5%) Give the definition of the directional derivative of $f(x,y)$ at $(a,b)$ in the direction of a unit vector $\mathbf{u}=(u,v)$ , $u^2+v^2=1$ .

(b) (5%) Show that the directional derivative of the following function exists in every direction $\mathbf{u}=(u,v)$ at $(0,0)$ , where

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy^2}{x^2+y^4}, & \text{if }(x,y)\ne (0,0);\\ 0, & \text{if }(x,y)=(0,0). \end{cases}

解答

(a)

解法一

展開

沿著通過 $(a,b)$ 、方向為單位向量 $\mathbf{u}=(u,v)$ 的直線前進，方向導數定義為

\boxed{ D_{\mathbf{u}}f(a,b) =\lim_{h\to0}\frac{f(a+hu,b+hv)-f(a,b)}{h} }

只要此極限存在，便稱 $f$ 在該方向的方向導數存在。

(b)

解法一

思路

展開

依定義將 $(x,y)$ 換成 $(hu,hv)$ ，因為要考察從原點沿方向 $\mathbf{u}$ 的變化。
分別處理 $u\ne0$ 與 $u=0$ ，避免在 $u=0$ 時除以 $u$ 。

答題過程

展開

因 $f(0,0)=0$ ，由定義

\begin{align*} D_{\mathbf{u}}f(0,0) =&\,\lim_{h\to0}\frac{f(hu,hv)}{h}\\[4mm] =&\,\lim_{h\to0} \frac{1}{h}\cdot \frac{(hu)(hv)^2}{(hu)^2+(hv)^4}\\[4mm] =&\,\lim_{h\to0}\frac{uv^2}{u^2+h^2v^4}. \end{align*}

若 $u\ne0$ ，上式極限為

D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\frac{v^2}{u}.

若 $u=0$ ，則沿此方向有 $x=0$ ，故 $f(0,hv)=0$ ，從而

D_{\mathbf{u}}f(0,0)=0.

兩種情形皆有極限，因此方向導數在每一個單位方向都存在。

(c)

解法一

思路

展開

若函數在原點可微，所有方向導數都必須等於同一個梯度與方向向量的內積。
先由座標軸方向求出兩個偏導數；再找一個方向，使其方向導數與該內積不符。

答題過程

展開

沿兩個座標軸，函數值都為 $0$ ，所以

f_x(0,0)=0, \qquad f_y(0,0)=0.

若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，便應有 $\nabla f(0,0)=(0,0)$ ，進而對每個單位方向 $\mathbf{u}$ 都有

D_{\mathbf{u}}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\mathbf{u}=0.

但是取單位方向

\mathbf{u}=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right),

由 (b) 得

D_{\mathbf{u}}f(0,0) =\frac{(1/\sqrt2)^2}{1/\sqrt2} =\frac1{\sqrt2}\ne0.

這與可微時的必要條件矛盾，故 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。

易錯提醒

每個方向的方向導數都存在，並不保證函數可微；可微時，方向導數還必須能由同一個梯度的內積統一表示。

103 台灣大學微積分(C) 第 6 題

題目

解答

(a)

解法一

(b)

解法一

思路

答題過程

(c)

解法一

思路

答題過程