題目 Problem （壹）填充題 令 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，其中 x=r2+s2x=r^2+s^2x=r2+s2，y=2rsy=2rsy=2rs，假設 f(x,y)f(x,y)f(x,y) 的二階偏導函數均為連續，則 ∂2z∂r∂s=(8)‾\dfrac{\partial^2 z}{\partial r\partial s}=\underline{\quad(8)\quad}∂r∂s∂2z=(8)。 解答 解法一 答題過程 展開 先由鏈鎖規則得 zr=2rfx+2sfyz_r=2rf_x+2sf_yzr=2rfx+2sfy，再對 sss 微分；二階偏導連續故 fxy=fyxf_{xy}=f_{yx}fxy=fyx。因此 zrs=4rsfxx+4(r2+s2)fxy+4rsfyy+2fy.\boxed{ z_{rs}=4rsf_{xx}+4(r^2+s^2)f_{xy}+4rsf_{yy}+2f_y }.zrs=4rsfxx+4(r2+s2)fxy+4rsfyy+2fy.
