題目

Problem

（貳）計算證明題

令 $R$ 為三條直線 $2x+3y-7=0$ ， $x-2y+4=0$ 及 $x+5y-10=0$ 所圍的區域，求 $\iint_R (2x+3y-6)\sin(x-2y+4)\,\mathrm{d}A$ 。

解答

展開

令

u=2x+3y-7, \qquad v=x-2y+4.

則 $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|=1/7$ ，第三條邊界化為 $u-v+1=0$ 。故新區域可寫成

-1\le u\le0, \qquad 0\le v\le u+1.

因此

\begin{align*} \iint_R(2x+3y-6)\sin(x-2y+4)\,\mathrm{d}A =&\,\frac17\int_{-1}^0\int_0^{u+1}(u+1)\sin v\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac17\int_0^1t(1-\cos t)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{\frac32-\sin1-\cos1}{7}}. \end{align*} </details>