題目 Problem （貳）計算證明題 令曲線 CCC 為 (x2+y2−x)2=x2+y2(x^2+y^2-x)^2=x^2+y^2(x2+y2−x)2=x2+y2，求此曲線所圍區域的面積。 解答 解法一 答題過程 展開 改用極座標 x=rcosθx=r\cos\thetax=rcosθ、y=rsinθy=r\sin\thetay=rsinθ。原方程化為 r2(r−1−cosθ)(r+1−cosθ)=0.r^2(r-1-\cos\theta)(r+1-\cos\theta)=0.r2(r−1−cosθ)(r+1−cosθ)=0. 除原點外可形成封閉區域的分支為 r=1+cosθr=1+\cos\thetar=1+cosθ，即心臟線。因此面積為 A= 12∫02π(1+cosθ)2 dθ= 3π2.\begin{align*} A =&\,\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{3\pi}{2}}. \end{align*}A==21∫02π(1+cosθ)2dθ23π.
