題目 Problem （貳）計算證明題 求函數 f(x)=x1−x2+sin−1xf(x)=x\sqrt{1-x^2}+\sin^{-1}xf(x)=x1−x2+sin−1x 在 x=0x=0x=0 的 Taylor 級數及其收斂半徑。 解答 解法一 答題過程 展開 先微分，根式項與反三角函數項恰好合併： f′(x)=21−x2.f'(x)=2\sqrt{1-x^2}.f′(x)=21−x2. 利用二項式展開並由 f(0)=0f(0)=0f(0)=0 積分回去，得 f(x)= 2∑n=0∞(−1)n(1/2n)x2n+12n+1= 2x−x33−x520−x756−⋯ .\begin{align*} f(x) =&\,2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\binom{1/2}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\[4mm] =&\,2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{20}-\frac{x^7}{56}-\cdots. \end{align*}f(x)==2n=0∑∞(−1)n(n1/2)2n+1x2n+12x−3x3−20x5−56x7−⋯. 二項式級數的收斂半徑為 111，故答案的收斂半徑為 1\boxed{1}1。
