題目 Problem （壹）填充題 參數曲線 r=e−θr=e^{-\theta}r=e−θ，θ≥0\theta\ge 0θ≥0，的形心為 (x‾,y‾)=((10a)‾,(10b)‾)(\overline{x},\overline{y})=(\underline{\quad(10a)\quad},\underline{\quad(10b)\quad})(x,y)=((10a),(10b))。 解答 解法一 答題過程 展開 曲線以極座標參數化，且 ds=r2+(drdθ)2 dθ=2e−θ dθ.\mathrm{d}s=\sqrt{r^2+\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}\theta =\sqrt2e^{-\theta}\,\mathrm{d}\theta.ds=r2+(dθdr)2dθ=2e−θdθ. 其總長 L=2L=\sqrt2L=2。因此 xˉ=∫0∞e−2θcosθ dθ=25,yˉ=∫0∞e−2θsinθ dθ=15.\bar x=\int_0^\infty e^{-2\theta}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac25, \qquad \bar y=\int_0^\infty e^{-2\theta}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=\frac15.xˉ=∫0∞e−2θcosθdθ=52,yˉ=∫0∞e−2θsinθdθ=51. 故形心為 (25,15)\boxed{(\frac25,\frac15)}(52,51)。
