題目 Problem (I). Evaluate ∫y=0y=2∫x=yx=2ex2 dxdy=(10)‾\displaystyle\int_{y=0}^{y=2}\int_{x=y}^{x=2} e^{x^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underline{\quad(10)\quad}∫y=0y=2∫x=yx=2ex2dxdy=(10). 解答 解法一 思路 展開 交換積分次序，讓內層 yyy 的積分直接給出 xxx。 答題過程 展開 改變積分次序。區域可寫為 0≤x≤2,0≤y≤x0\le x\le2,0\le y\le x0≤x≤2,0≤y≤x，故 ∫02∫y2ex2 dx dy=∫02∫0xex2 dy dx=∫02xex2 dx=e4−12.\int_0^2\int_y^2e^{x^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_0^2\int_0^xe^{x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =\int_0^2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac{e^4-1}{2}}.∫02∫y2ex2dxdy=∫02∫0xex2dydx=∫02xex2dx=2e4−1.
