題目 Problem (G). Find the direction derivative of f(x,y)=ln(x2+y2)f(x,y)=\ln(x^2+y^2)f(x,y)=ln(x2+y2) at the point (1,2)(1,2)(1,2) in the direction u=(35,45)\mathbf{u}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)u=(53,54). Answer. (8)‾\underline{\quad(8)\quad}(8). 解答 解法一 思路 展開 先確認給定向量是單位向量，再計算 ∇f⋅u\nabla f\cdot\mathbf u∇f⋅u。 答題過程 展開 ∇f(x,y)=(2xx2+y2,2yx2+y2),∇f(1,2)=(25,45).\nabla f(x,y)=\left(\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{2y}{x^2+y^2}\right), \qquad \nabla f(1,2)=\left(\frac25,\frac45\right).∇f(x,y)=(x2+y22x,x2+y22y),∇f(1,2)=(52,54). 故方向導數為 (8)=∇f(1,2)⋅(35,45)=2225.\boxed{(8)=\nabla f(1,2)\cdot\left(\frac35,\frac45\right)=\frac{22}{25}}.(8)=∇f(1,2)⋅(53,54)=2522.
