題目 Problem (M). Solve the differential equation dydt=2(1+t)(1+y2)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2(1+t)(1+y^2)dtdy=2(1+t)(1+y2) with the initial condition y(−1)=0y(-1)=0y(−1)=0. Answer. (14)‾\underline{\quad(14)\quad}(14). 解答 解法一 思路 展開 這是可分離方程；左側以 arctany\arctan yarctany 積分，再代初始條件。 答題過程 展開 dy1+y2=2(1+t) dt.\frac{\mathrm{d}y}{1+y^2}=2(1+t)\,\mathrm{d}t.1+y2dy=2(1+t)dt. 積分得 arctany=t2+2t+C\arctan y=t^2+2t+Carctany=t2+2t+C。由 y(−1)=0y(-1)=0y(−1)=0 得 C=1C=1C=1，所以 (14)=y=tan((t+1)2).\boxed{(14)=y=\tan\bigl((t+1)^2\bigr)}.(14)=y=tan((t+1)2).
