題目

Problem

(L). Evaluate $\displaystyle\iint_\Omega \left(\frac{y-x}{y+x}\right)^4\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ , where $\Omega$ is the region in the first quadrant bounded by the lines $x+y=1$ and $x+y=2$ . Answer. $\underline{\quad(13)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

被積函數是 $(y-x)/(x+y)$ 的函數，令 $u=x+y,v=y-x$ 可把區域化成簡單範圍。

答題過程

展開

令 $u=x+y,v=y-x$ ，則 $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|=1/2$ 。第一象限給 $-u\le v\le u$ ，兩條邊界給 $1\le u\le2$ ，故

\begin{align*} \iint_\Omega\left(\frac{y-x}{y+x}\right)^4\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =&\,\frac12\int_1^2\int_{-u}^u\frac{v^4}{u^4}\,\mathrm{d}v\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac15\int_1^2u\,\mathrm{d}u =\boxed{\frac3{10}}. \end{align*}

102 台灣大學微積分(C) 第 12 題

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