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102 台灣大學微積分(C) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

102學年度 · 102台大微積分C · 第 11 題

題目

Problem

(K). Find point(s) (12)‾\underline{\quad(12)\quad} on the curve x3−y3=1x^3-y^3=1 farthest from the line y=xy=x.

解答

解法一

思路

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  • 到直線 y=xy=x 的距離只取決於 s=x−ys=x-y；再用曲線條件限制 ss 的可能範圍。

答題過程

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令 s=x−ys=x-y。因

x3−y3=s(x2+xy+y2)=1,x^3-y^3=s(x^2+xy+y^2)=1,

必有 s>0s>0。又

x2+xy+y2=3(y+s2)2+s24≥s24,x^2+xy+y^2=3\left(y+\frac{s}{2}\right)^2+\frac{s^2}{4}\ge\frac{s^2}{4},

所以 1≥s3/41\ge s^3/4，即 s≤43s\le\sqrt[3]{4}。距離 s/2s/\sqrt2 在 ss 最大時最大，等號於 y=−s/2,x=s/2y=-s/2,x=s/2：

(12)=(432,−432).\boxed{(12)=\left(\frac{\sqrt[3]4}{2},-\frac{\sqrt[3]4}{2}\right)}.