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102 台灣大學微積分(B) 第 9 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

102學年度 · 102台大微積分B · 第 9 題

題目

Problem

一、單選題

  1. 當 lim⁡x→−a1/3x6+2ax3−x3−a\lim_{x\to -a^{1/3}} \sqrt{x^6+2ax^3-x^3-a} 存在且其值為 −3-3。請問下列哪個選項是正確的?

(A) a=0a=0

(B) a2=9a^2=9

(C) a=−3a=-3

(D) a=3a=3

(E) 以上皆非。

題目勘誤

官方原題:要求 x6+2ax3−x3−a\sqrt{x^6+2ax^3-x^3-a} 的極限值為 −3-3。

實際上應為:在實數範圍內,主平方根的函數值恆為非負,故其存在的實數極限不可能是負數;原題條件互相矛盾,無從決定 aa。

本頁保留官方原題,未替換原題條件。

解答

解法一

思路

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  • 不必展開根號內的式子;主平方根在實數範圍的值域已足以檢驗題設。
  • 非負函數若有實數極限,極限也不能是負數。

答題過程

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只要根號內有定義,就有

x6+2ax3−x3−a≥0.\sqrt{x^6+2ax^3-x^3-a}\ge0.

因此若左式在實數範圍有極限,該極限必為非負數,不可能等於 −3-3。原題條件本身矛盾,故不能由題設決定 aa,也無從在原選項中選出答案。