題目

Problem

一、單選題

The function $g(x)$ is the derivative of $\int_0^x(t^3-5)\,\mathrm{d}t$ . What is the derivative of the inverse of $g(x)$ at $x=3$ ?

(A) $4$

(B) $1/4$

(D) $1/3$

(E) $1/12$ 。

解答

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由微積分基本定理， $g(x)=x^3-5$ ，所以 $g'(x)=3x^2$ 。反函數導數公式給出

(g^{-1})'(3)=\frac{1}{g'\bigl(g^{-1}(3)\bigr)}.

由 $g(x)=3$ 得 $x=2$ ，故 $g'(2)=12$ 。因此

\boxed{(g^{-1})'(3)=\frac1{12}},

選 (E)。