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102 台灣大學微積分(B) 第 4 題

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102學年度 · 102台大微積分B · 第 4 題

題目

Problem

一、單選題

  1. Which of the following integrals represents the area enclosed by the smaller loop of the graph of r=1+2sin⁡θr=1+2\sin\theta?

(A) 12∫7π/611π/6(1+2sin⁡θ)2 dθ\dfrac{1}{2}\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(1+2\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta

(B) 12∫7π/611π/6(1+2sin⁡θ) dθ\dfrac{1}{2}\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(1+2\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta

(C) 12∫−π/67π/6(1+2sin⁡θ)2 dθ\dfrac{1}{2}\int_{-\pi/6}^{7\pi/6}(1+2\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta

(D) ∫−π/67π/6(1+2sin⁡θ)2 dθ\int_{-\pi/6}^{7\pi/6}(1+2\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta

(E) ∫−π/67π/6(1+2sin⁡θ) dθ\int_{-\pi/6}^{7\pi/6}(1+2\sin\theta)\,\mathrm{d}\theta。

解答

解法一

思路

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  • 小迴圈從極點出發再回到極點，所以先找 r=0r=0 的兩個相鄰角度。
  • 極座標面積公式為 12∫r2 dθ\frac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta。

答題過程

展開

小迴圈的端點滿足 1+2sin⁡θ=01+2\sin\theta=0，即 θ=7π/6,11π/6\theta=7\pi/6,11\pi/6。在這段角度中 r<0r<0，但面積公式仍使用 r2r^2，故選

12∫7π/611π/6(1+2sin⁡θ)2 dθ,\boxed{\frac12\int_{7\pi/6}^{11\pi/6}(1+2\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta},

即 (A)。