題目 Problem 一、單選題 ∫03(1−x)−2 dx\int_0^3(1-x)^{-2}\,\mathrm{d}x∫03(1−x)−2dx 為何？ (A) −3/2-3/2−3/2 (B) −1/2-1/2−1/2 (C) 1/21/21/2 (D) 3/23/23/2 (E) 發散。 解答 解法一 思路 展開 瑕積分的奇點 x=1x=1x=1 位於積分區間內，必須拆成左右兩個極限。 只要其中一側發散，原積分便不收斂。 答題過程 展開 被積函數在 x=1x=1x=1 無定義，因此左側部分為 ∫011(1−x)2 dx= lims→1−∫0s1(1−x)2 dx= lims→1−[11−x]0s=∞.\begin{align*} \int_0^1\frac{1}{(1-x)^2}\,\mathrm{d}x =&\,\lim_{s\to1^-}\int_0^s\frac{1}{(1-x)^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\lim_{s\to1^-}\left[\frac{1}{1-x}\right]_0^s=\infty. \end{align*}∫01(1−x)21dx==s→1−lim∫0s(1−x)21dxs→1−lim[1−x1]0s=∞. 此瑕積分發散，選 (E)\boxed{\text{(E)}}(E)。
