題目

Problem

三、計算題（占 18 分）

(10 分) Compute the integral $\oint \dfrac{x-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\dfrac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y$ .

(a) (5 分) Over any closed curve $C$ not enclosing the origin.

(b) (5 分) Over the circle of radius $a$ centered at $(0,0)$ .

解答

展開

展開

在 $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ ，被積分式可拆成

\frac{x-y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y =\frac12\,\mathrm{d}\ln(x^2+y^2)+\mathrm{d}\theta.

(a) 若閉曲線不包圍原點，角度可在曲線所圍區域連續選取，兩個全微分沿閉曲線皆積為 $0$ ，故值為 $\boxed{0}$ 。

(b) 按封閉曲線的慣例取正向，令 $x=a\cos t,y=a\sin t$ ， $0\le t\le2\pi$ 。此時 $\theta$ 增加 $2\pi$ ，故積分為 $\boxed{2\pi}$ 。若反向走圓周，值相反。