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102 台灣大學微積分(B) 第 15 題

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102學年度 · 102台大微積分B · 第 15 題

題目

Problem

三、計算題（占 18 分）

  1. (8 分) Show that the line integral ∫C2xsin⁡(y) dx+(x2cos⁡(y)−3y2) dy\int_C 2x\sin(y)\,\mathrm{d}x+(x^2\cos(y)-3y^2)\,\mathrm{d}y is independent of path and evaluate the given integral for any path from (2,π/6)(2,\pi/6) to (0,−2)(0,-2).

解答

解法一

思路

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  • 先檢查 My=NxM_y=N_x；兩個係數在全平面連續，故可判定為保守場。
  • 找位勢函數後，線積分只須以終點位勢減起點位勢。

答題過程

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令 M=2xsin⁡y,N=x2cos⁡y−3y2M=2x\sin y,N=x^2\cos y-3y^2。有

My=2xcos⁡y=Nx.M_y=2x\cos y=N_x.

兩函數在 R2\mathbb R^2 皆連續，故此場保守。由 Φx=M\Phi_x=M 積分得

Φ(x,y)=x2sin⁡y−y3.\Phi(x,y)=x^2\sin y-y^3.

故線積分只看端點：

Φ(0,−2)−Φ(2,π/6)=8−(2−π3216)=6+π3216.\Phi(0,-2)-\Phi(2,\pi/6) =8-\left(2-\frac{\pi^3}{216}\right) =\boxed{6+\frac{\pi^3}{216}}.