題目 Problem For the parametric curve x=x(t)x=x(t)x=x(t), y=y(t)y=y(t)y=y(t) when t=2t=2t=2, x(2)=4x(2)=4x(2)=4, x′(2)=2x'(2)=2x′(2)=2, x′′(2)=5x''(2)=5x′′(2)=5, y(2)=2y(2)=2y(2)=2, y′(2)=2y'(2)=2y′(2)=2, y′′(2)=1y''(2)=1y′′(2)=1, find d2ydx2 (x=4)=?\dfrac{d^2y}{dx^2}\,(x=4)=?dx2d2y(x=4)=? (20/100)(20/100)(20/100) 解答 解法一 思路 展開 參數曲線的二階導數不能直接把 y′′(t)y''(t)y′′(t) 當成 d2y/dx2\mathrm{d}^2y/\mathrm{d}x^2d2y/dx2；先由 dy/dx=y′/x′\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=y'/x'dy/dx=y′/x′，再對 xxx 微分一次。 答題過程 展開 由鏈鎖規則， d2ydx2=ddt(y′x′)/x′=y′′x′−y′x′′(x′)3.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{y'}{x'}\right)\bigg/ x' =\frac{y''x'-y'x''}{(x')^3}.dx2d2y=dtd(x′y′)/x′=(x′)3y′′x′−y′x′′. 代入 t=2t=2t=2 時的資料： d2ydx2∣x=4=1⋅2−2⋅523=−1.\boxed{\left.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\right|_{x=4} =\frac{1\cdot2-2\cdot5}{2^3}=-1}.dx2d2yx=4=231⋅2−2⋅5=−1.
