題目

Problem

(5) 若 $n$ 為正整數， $a,b\ne 0$ ，則積分 $\int \frac{dx}{x(a+bx^n)^2}=\underline{\quad(5)\quad}$ 。

解答

展開

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令 $u=x^n$ ，則 $\mathrm{d}x/x=\mathrm{d}u/(nu)$ 。再令 $v=a+bu$ ，可得

\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{x(a+bx^n)^2} =&\,\frac1n\int\frac{\mathrm{d}u}{u(a+bu)^2}\\[4mm] =&\,\frac1n\int\left(\frac1{a^2u}-\frac{b}{a^2(a+bu)}-\frac{b}{a(a+bu)^2}\right)\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac1n\left[\frac1{a^2}\ln\left|\frac{bx^n}{a+bx^n}\right| +\frac1{a(a+bx^n)}\right]+C. \end{align*}