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100 台灣大學微積分(C) 第 12 題

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100學年度 · 100台大微積分C · 第 12 題

題目

Problem

三、計算題（占 30 分）

（說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（12, 13）與子題號（a）、（b），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。各小題配分標於題末。）

  1. (15分)(15\text{分}) Let f(x,y,z)=xyzf(x,y,z)=xyz. Find the maximum and minimum values of ff subject to the constraint x2+y2+z2=3x^2+y^2+z^2=3.

(a) Use Lagrange multiplier to obtain the system of equations to be solved. (7分)(7\text{分})

(b) Find the maximum and minimum values of ff. (8分)(8\text{分})

解答

解法一

思路

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  • 建立拉格朗日乘子方程；再由球面約束比較所有符號組合。

答題過程

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令 g=x2+y2+z2−3g=x^2+y^2+z^2-3。拉格朗日方程為

yz=2λx,xz=2λy,xy=2λz,x2+y2+z2=3.yz=2\lambda x,\qquad xz=2\lambda y,\qquad xy=2\lambda z,\qquad x^2+y^2+z^2=3.

非零極值點須有 x2=y2=z2=1x^2=y^2=z^2=1。因此

fmax⁡=1,fmin⁡=−1.\boxed{f_{\max}=1},\qquad\boxed{f_{\min}=-1}.

最大值發生在乘積為正的 (±1,±1,±1)(\pm1,\pm1,\pm1) 組合，最小值發生在乘積為負的組合。