題目 6. 試求級數 ∑n=0∞2n(n2+1)n!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n(n^2+1)}{n!}n=0∑∞n!2n(n2+1) 之和為 (6)‾\underline{\quad(6)\quad}(6)。 解答 解法一 思路 展開 利用 exe^xex 的冪級數；nnn 與 n2n^2n2 可由對 exe^xex 微分後乘上 xxx 取得。 答題過程 展開 由 ∑n=0∞2nn!=e2,\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n!}=e^2,n=0∑∞n!2n=e2, 並以 ∑n(n−1)2n/n!=4e2\sum n(n-1)2^n/n!=4e^2∑n(n−1)2n/n!=4e2、∑n2n/n!=2e2\sum n2^n/n!=2e^2∑n2n/n!=2e2，得到 ∑n=0∞n22nn!=6e2.\sum_{n=0}^\infty\frac{n^2 2^n}{n!}=6e^2.n=0∑∞n!n22n=6e2. 故 (6)=6e2+e2=7e2.\boxed{(6)=6e^2+e^2=7e^2}.(6)=6e2+e2=7e2.
