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100 台灣大學微積分(B) 第 3 題

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100學年度 · 100台大微積分B · 第 3 題

題目

3. 設向量場 F⃗(x,y,z)=(2x+yez)i⃗+(ex−yez)j⃗+(ez+3z−xy)k⃗\vec{F}(x,y,z)=(2x+ye^z)\vec{i}+(e^x-ye^z)\vec{j}+(e^z+3z-xy)\vec{k}，SS 為球面 x2+y2+z2=9x^2+y^2+z^2=9，且 n⃗\vec{n} 為其往外之法向量，試求面積分

∬SF⃗⋅n⃗ dS=(3)‾.\iint_S \vec{F}\cdot \vec{n}\,dS=\underline{\quad(3)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 曲面是封閉球面，且法向量向外，適合用散度定理將通量化為球內三重積分。

答題過程

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向量場的散度為

∇⋅F⃗=∂∂x(2x+yez)+∂∂y(ex−yez)+∂∂z(ez+3z−xy)=5.\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(2x+ye^z) +\frac{\partial}{\partial y}(e^x-ye^z) +\frac{\partial}{\partial z}(e^z+3z-xy)=5.

球 x2+y2+z2≤9x^2+y^2+z^2\le9 的體積是 43π33=36π\frac43\pi3^3=36\pi，故由散度定理

(3)=∭x2+y2+z2≤95 dV=180π.\boxed{(3)=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le9}5\,\mathrm{d}V=180\pi}.