題目 2. 試求定積分 ∫0931+x dx=(2)‾.\int_0^9 \frac{3}{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,dx=\underline{\quad(2)\quad}.∫091+x3dx=(2). 解答 解法一 思路 展開 根式中出現 x\sqrt{x}x，令 u=xu=\sqrt{x}u=x 可直接去除巢狀根式。 答題過程 展開 令 x=u2x=u^2x=u2，則 dx=2u du\mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}udx=2udu，上下限為 u=0,3u=0,3u=0,3。再令 w=1+uw=\sqrt{1+u}w=1+u： ∫0931+x dx= 6∫03u1+u du= 12∫12(w2−1) dw=16.\begin{align*} \int_0^9\frac3{\sqrt{1+\sqrt{x}}}\,\mathrm{d}x =&\,6\int_0^3\frac{u}{\sqrt{1+u}}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,12\int_1^2(w^2-1)\,\mathrm{d}w =\boxed{16}. \end{align*}∫091+x3dx==6∫031+uudu12∫12(w2−1)dw=16.
