題目 6. 冪級數 ∑n=1∞3nn+1(x−2)n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{\sqrt{n+1}}(x-2)^nn=1∑∞n+13n(x−2)n 的收斂區間為 (6)‾\underline{\quad(6)\quad}(6)。 解答 解法一 思路 展開 先以根值判別法求收斂半徑。 端點必須分開代入檢查，不能只寫開區間。 答題過程 展開 係數的根值極限為 limn→∞3nn+1n=3,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{3^n}{\sqrt{n+1}}}=3,n→∞limnn+13n=3, 故收斂半徑 R=1/3R=1/3R=1/3，先得到 ∣x−2∣<1/3|x-2|<1/3∣x−2∣<1/3。 在 x=5/3x=5/3x=5/3 時，級數變成 ∑n=1∞(−1)nn+1,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}},n=1∑∞n+1(−1)n, 它是遞減趨零的交錯級數，收斂；在 x=7/3x=7/3x=7/3 時則為正項級數 ∑1/n+1\sum 1/\sqrt{n+1}∑1/n+1，發散。 所以收斂區間為 [53,73).\boxed{\left[\frac53,\frac73\right)}.[35,37).
