題目
3. 設方程式
3−6x+6x2−4x3=0 有
p 個實根，且方程式
3−6x+6x2−4x3+2x4=0 有
q 個實根。試求
(p,q)=(3)。
解答
解法一
思路
展開
- 先由導數的正負判斷三次函數是否單調，便可數出實根個數。
- 四次式可配成平方和，直接判斷它是否可能為零。
答題過程
展開
令 f(x)=3−6x+6x2−4x3，則
f′(x)=−6(2x2−2x+1)<0.
f 嚴格遞減，且三次多項式左右端的函數值分別趨向 +∞、−∞，故恰有一個實根，p=1。
另一方面，
3−6x+6x2−4x3+2x4=2(x2−x)2+4(x−43)2+43>0.
所以第二個方程沒有實根，q=0。因此 (p,q)=(1,0)。
