題目 2. 試求定積分 ∫043x39+x2 dx=(2)‾.\int_0^4\frac{3x^3}{\sqrt{9+x^2}}\,dx=\underline{\quad(2)\quad}.∫049+x23x3dx=(2). 解答 解法一 思路 展開 根號內是 9+x29+x^29+x2，令 u=9+x2u=\sqrt{9+x^2}u=9+x2 可以同時處理分母與剩下的 x2x^2x2。 定積分代換後要一併換上下限。 答題過程 展開 令 u=9+x2u=\sqrt{9+x^2}u=9+x2，則 u du=x dxu\,\mathrm{d}u=x\,\mathrm{d}xudu=xdx，且 x2=u2−9x^2=u^2-9x2=u2−9。當 x=0,4x=0,4x=0,4 時，分別有 u=3,5u=3,5u=3,5。因此 ∫043x39+x2 dx= ∫353(u2−9) du= [u3−27u]35= 44.\begin{align*} \int_0^4\frac{3x^3}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\int_3^5 3(u^2-9)\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\big[u^3-27u\big]_3^5\\[4mm] =&\,44. \end{align*}∫049+x23x3dx===∫353(u2−9)du[u3−27u]3544. 故答案為 44\boxed{44}44。
