題目

Problem

III. Compute the following:

(a) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ . Here $a_1=\sqrt{6},\ a_2=\sqrt{6+\sqrt{6}},\ a_3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6}}},\ldots$ $(5\%)$

(b) $\displaystyle \lim_{t\to 0}\left(\int_0^1 (1+x)^t\,dx\right)^{\frac{1}{t}}$ . $(10\%)$

解答

展開

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(a) $a_n=\sqrt{6+a_{n-1}}$ ，且可驗證數列遞增並有上界 $3$ ，故設極限為 $L$ 。則

L=\sqrt{6+L}\quad\Longrightarrow\quad L^2-L-6=0.

因 $L\ge0$ ，所以 $L=3$ 。

(b) 設 $I(t)=\int_0^1(1+x)^t\,\mathrm{d}x$ 。 $I(0)=1$ ，故

\lim_{t\to0}\frac{\ln I(t)}t=I'(0)=\int_0^1\ln(1+x)\,\mathrm{d}x=2\ln2-1.

因此原極限為

\boxed{3,\qquad \exp(2\ln2-1)=\frac4e}.