題目 Problem (3) ∫0πxsinx1+cos2x dx=(3)‾。\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx=\underline{\quad(3)\quad}。∫0π1+cos2xxsinxdx=(3)。 解答 解法一 答題過程 展開 以 x↦π−xx\mapsto\pi-xx↦π−x 配對，若原積分為 III，則 2I=π∫0πsinx1+cos2x dx=π∫−1111+u2 du=π22.2I=\pi\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,\mathrm{d}x =\pi\int_{-1}^1\frac{1}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\frac{\pi^2}{2}.2I=π∫0π1+cos2xsinxdx=π∫−111+u21du=2π2. 故 I=π2/4\boxed{I=\pi^2/4}I=π2/4。
