題目 2. 若 F(x)=∫0xt21+t4 dt，F(x)=\int_0^{\sqrt{x}}\frac{t^2}{1+t^4}\,dt，F(x)=∫0x1+t4t2dt， 則 F′′(1)=‾F''(1)=\underline{\quad\quad}F′′(1)=。 解答 解法一 思路 展開 先由微積分基本定理對變上限積分求導。 上限是 x\sqrt{x}x，還要乘上它的導數，再對所得式子微分一次。 答題過程 展開 令 u=xu=\sqrt{x}u=x。由微積分基本定理及鏈鎖規則， F′(x)=u21+u4⋅dudx=x1+x2⋅12x=x2(1+x2).F'(x)=\frac{u^2}{1+u^4}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} =\frac{x}{1+x^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\sqrt{x}}{2(1+x^2)}.F′(x)=1+u4u2⋅dxdu=1+x2x⋅2x1=2(1+x2)x. 再微分： F′′(x)=14x−1/2(1+x2)−1−x3/2(1+x2)2.F''(x)=\frac14x^{-1/2}(1+x^2)^{-1} -\frac{x^{3/2}}{(1+x^2)^2}.F′′(x)=41x−1/2(1+x2)−1−(1+x2)2x3/2. 故 F′′(1)=18−14=−14.F''(1)=\frac18-\frac14=\boxed{-\frac14}.F′′(1)=81−41=−41.
