題目

2. 設某古董的價值隨其年齡而增加，其在任何時間

t

的增值率皆與當時的價值成正比。若該古董 10 年前的價值是 87 萬 5 千元，現在值 122 萬 5 千元。問從此刻算起，最快再經多少年它的價值就會超過 175 萬元。

（ $\log 2=0.30103,\ \log 3=0.47712,\ \log 5=0.69897,\ \log 7=0.84510$ ） $(12\%)$

解答

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設 $t=0$ 為現在，價值以萬元為單位。由題意

V(t)=122.5e^{kt}.

十年前的價值是 $87.5$ ，所以

87.5=122.5e^{-10k}, \qquad e^{10k}=\frac{122.5}{87.5}=\frac75.

要使 $V(t)>175$ ，需有

e^{kt}>\frac{175}{122.5}=\frac{10}{7}.

因此

t>\frac{\ln(10/7)}{k} =\frac{10\ln(10/7)}{\ln(7/5)}.

所求的臨界時間為

\boxed{\frac{10\ln(10/7)}{\ln(7/5)}\approx10.60\text{ 年}}.

故超過此值的最早年數約為 $10.60$ 年。