題目 6. 設 C:x2+(y−3)2=16C:x^2+(y-3)^2=16C:x2+(y−3)2=16 依逆時針旋轉，則 ∮C2y dx+(x2+y2) dy=‾。\oint_C 2y\,dx+(x^2+y^2)\,dy=\underline{\quad\quad}。∮C2ydx+(x2+y2)dy=。 解答 解法一 思路 展開 曲線逆時針且為簡單閉曲線，直接使用格林定理把線積分化為面積分。 答題過程 展開 取 P=2yP=2yP=2y、Q=x2+y2Q=x^2+y^2Q=x2+y2。格林定理給出 ∮CP dx+Q dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y) dA=∬R(2x−2) dA.\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}A =\iint_R(2x-2)\,\mathrm{d}A.∮CPdx+Qdy=∬R(∂x∂Q−∂y∂P)dA=∬R(2x−2)dA. 圓盤 RRR 的圓心為 (0,3)(0,3)(0,3)，故 ∬Rx dA=0\iint_Rx\,\mathrm{d}A=0∬RxdA=0，面積為 16π16\pi16π。因此 −2⋅16π=−32π.\boxed{-2\cdot16\pi=-32\pi}. −2⋅16π=−32π.
