題目 5. x2+y2=4x^2+y^2=4x2+y2=4 和 4x2+4y2+z2=644x^2+4y^2+z^2=644x2+4y2+z2=64 共同部分的體積為 ‾\underline{\quad\quad}。 解答 解法一 思路 展開 共同區域以圓柱坐標描述：0≤r≤20\le r\le20≤r≤2，zzz 由橢球面決定。 答題過程 展開 橢球面給出 z=±216−r2z=\pm2\sqrt{16-r^2}z=±216−r2，故 V= ∫02π∫02416−r2 r dr dθ= 8π3(64−123).\begin{align*} V =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^2 4\sqrt{16-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{8\pi}{3}(64-12\sqrt3)}. \end{align*}V==∫02π∫02416−r2rdrdθ38π(64−123).
