題目 2. ∫0π/4dxtanx+1=‾。\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\tan x+1}=\underline{\quad\quad}。∫0π/4tanx+1dx=。 解答 解法一 思路 展開 令 t=tanxt=\tan xt=tanx，將三角積分改為有理函數積分。 答題過程 展開 ∫0π/4dxtanx+1= ∫01dt(t+1)(t2+1)= ∫01(12(t+1)+−t+12(t2+1)) dt= 14ln2+π8.\begin{align*} \int_0^{\pi/4}\frac{\mathrm{d}x}{\tan x+1} =&\,\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t^2+1)}\\[4mm] =&\,\int_0^1\left(\frac1{2(t+1)}+\frac{-t+1}{2(t^2+1)}\right)\,\mathrm{d}t\\[4mm] =&\,\boxed{\frac14\ln2+\frac\pi8}. \end{align*}∫0π/4tanx+1dx===∫01(t+1)(t2+1)dt∫01(2(t+1)1+2(t2+1)−t+1)dt41ln2+8π.
