題目 8. 判別無窮級數 ∑n=1∞(n+1)nnn+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}n=1∑∞nn+1(n+1)n 的收斂或發散。 解答 解法一 思路 展開 將一般項和 1/n1/n1/n 作極限比較。 比值趨近正有限常數，故可與調和級數判斷同敛散性。 答題過程 展開 令 an=(n+1)nnn+1a_n=\dfrac{(n+1)^n}{n^{n+1}}an=nn+1(n+1)n，則 limn→∞an1/n=limn→∞(1+1n)n=e.\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.n→∞lim1/nan=n→∞lim(1+n1)n=e. 與調和級數比較，故 此級數發散.\boxed{\text{此級數發散}}. 此級數發散.
