題目 2. 假設 f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn 與 g(x)=xng(x)=\sqrt[n]{x}g(x)=nx 所圍成領域的面積積為 12\dfrac{1}{2}21，求 nnn 的值。 解答 解法一 思路 展開 在 [0,1][0,1][0,1] 上比較兩函數的大小，再以兩者之差積分。 將面積設為 12\frac1221，解出 nnn。 答題過程 展開 兩曲線交於 (0,0)(0,0)(0,0) 與 (1,1)(1,1)(1,1)；在 [0,1][0,1][0,1] 上 x1/nx^{1/n}x1/n 在上方，故面積為 ∫01(x1/n−xn) dx= nn+1−1n+1=n−1n+1.\begin{align*} \int_0^1\bigl(x^{1/n}-x^n\bigr)\,\mathrm{d}x =&\,\frac{n}{n+1}-\frac1{n+1} =\frac{n-1}{n+1}. \end{align*}∫01(x1/n−xn)dx=n+1n−n+11=n+1n−1. 令它等於 12\frac1221，得 n−1n+1=12⟹n=3.\frac{n-1}{n+1}=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{n=3}.n+1n−1=21⟹n=3.
