題目

10. 求

f(x,y,z)=x^3e^y+xz

在

(1,2,3)

點且在

\vec v=0\vec i+\dfrac{3}{\sqrt5}\vec j+\dfrac{4}{\sqrt5}\vec k

方向的方向導數。

解答

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$\nabla f=(3x^2e^y+z,\ x^3e^y,\ x).$

在 $(1,2,3)$ ， $\nabla f=(3e^2+3,e^2,1)$ 。給定向量已是單位向量，故方向導數為

\begin{align*} D_{\vec v}f(1,2,3) =&\,(3e^2+3,e^2,1)\cdot\left(0,\frac3{\sqrt5},\frac4{\sqrt5}\right)\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{3e^2+4}{\sqrt5}}. \end{align*}