前言

在《白話微積分》當中曾提到：

由於本書最主要目的是協助大眾輕鬆備考，因此許多地方述而不證，深怕將考生帶偏考試重點。

但對於一些純粹喜歡求知、覺得沒證明看了不舒服，或者數學系同學來講，就難以滿足。

以下便分享證明過程，初次撰寫時先略過三角函數不寫，留待後續補上。

證明過程

證明冪函數 $f(x)=x^n$ 是連續函數

$n=0$ 的情況

不寫了吧！

$n$ 為自然數的情況

那就直接數學歸納法：

如果 $n=1$ ，對於任意實數 $a$ ，欲證

給定任意 $\epsilon$ ，取 $\delta=\epsilon$ ，則只要

便有

假設當 $n=k\in\mathbb{N}$ ， $x^k$ 是連續函數。

那麼當 $n=k+1$ ，

也是連續函數。

故由數學歸納法得證：對於任意自然數 $n$ ，$f(x)=x^n$ 是連續函數。

$n$ 為負整數的情況

若 $n=-k$ ， $k\in\mathbb{N}$ ，則

也是連續函數。

$n$ 為有理數的情況

對於 $n=\frac ab$ ，$a$ 與 $b$ 皆為非零整數，則

也是連續函數。

$n$ 為實數的情況

須引用到下文所證明的：指數函數與對數函數皆為連續函數，

搭配連續函數的複合函數也是連續函數，則

證明指數函數是連續函數

$f(x)=e^x$ 是連續函數

$f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 連續

一個著名不等式

Claim:

對於 $|x|<1$ ，

Proof of Claim:

(1) 根據伯努利不等式：

接著只要取 $n\to\infty$ ，就有

(2) 將 $-x$ 代回 $x$ ，

由於我們的前提是 $|x|<1$ ，這使得這裡的倒數操作沒問題。

利用夾擠定理

因為

所以由夾擠定理，

故得證，$f(x)=e^x$ 在 $x=0$ 連續。

$f(x)=e^x$ 處處連續

對於任意 $a\in\mathbb{R}$ ，

因此 $f(x)=e^x$ 在任意 $x=a$ 處皆連續

$f(x)=a^x$ 是連續函數， $a>0$ ， $a\ne1$

也是連續函數。

證明對數函數是連續函數

最簡單的做法是引用反函數連續性定理：

設 $I$ 為 $\mathbb{R}$ 上的一個區間（Interval）。

若函數 $f: I \to \mathbb{R}$ 是連續且嚴格單調的，

則：

1. $J = f(I)$ 必定也是一個區間（由中間值定理保證）。

2. 反函數 $f^{-1}: J \to I$ 在其定義域 $J$ 上是連續的。

則由於 $f(x)=a^x$ 是連續函數且嚴格單調，則其反函數 $f^{-1}(x)=\log_ax$ 也是連續函數。