求導 \(\sin^2x , \cos^2x\)及其應用

由 Chain rule ，

\begin{align}
&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\sin^2x\notag\\[3mm]
=&\,2\sin x\cdot\cos x\notag\\[3mm]
=&\,\sin2x\\[5mm]
&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\cos^2x\notag\\[3mm]
=&\,2\cos x\cdot\big(-\sin x\big)\notag\\[3mm]
=&\,-\sin2x
\end{align}

也可以

\begin{align}
&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\cos^2x\notag\\[3mm]
=&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\big(1-\sin^2x\big)\notag\\[3mm]
=&\,-\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\sin^2x
\end{align}

如果想追求磨煉解題技巧、快速解題，比方說有些同學準備名校轉學考，可以考慮把這個結果記起來。

\begin{align}
\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\sin^2x
=&\,\sin2x\\[3mm]
\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}
\cos^2x
=&\,-\sin2x
\end{align}

例題

\begin{align}\int
\frac{\sin2x}{\cos^2x+2}
\mathop{}\mathrm{d}x
\end{align}

解

設 $u=\cos^2x+2$，則 $\mathop{}\mathrm{d}u=-\sin2x\mathop{}\mathrm{d}x$

原積分轉換為

\begin{align}
&\,-\int\frac{1}{u}\mathop{}\mathrm{d}u\\[3mm]
=&\,-\ln\abs{u}+C\\[3mm]
=&\,-\ln\abs{\cos^2x+2}+C
\end{align}

如果事先記得 $ \dfrac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}\cos^2x=-\sin2x$，

很快就能想到 $u=\cos^2x+2$