求導 sin^2x , cos^2x 及其應用

由 Chain rule ，

\begin{align*} &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x\notag\\[4mm] =&\,2\sin x\cdot\cos x\notag\\[4mm] =&\,\sin2x\\[7mm] &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x\notag\\[4mm] =&\,2\cos x\cdot\big(-\sin x\big)\notag\\[4mm] =&\,-\sin2x \end{align*}

也可以

\begin{align*} &\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x\notag\\[4mm] =&\,\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \big(1-\sin^2x\big)\notag\\[4mm] =&\,-\frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x \end{align*}

如果想追求磨煉解題技巧、快速解題，比方說有些同學準備名校轉學考，可以考慮把這個結果記起來。

\begin{align*} \frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \sin^2x =&\,\sin2x\\[4mm] \frac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x} \cos^2x =&\,-\sin2x \end{align*}

例題

\begin{align*}\int \frac{\sin2x}{\cos^2x+2} \mathop{}\mathrm{d}x \end{align*}

解

設 $u=\cos^2x+2$ ，則 $\mathop{}\mathrm{d}u=-\sin2x\mathop{}\mathrm{d}x$

原積分轉換為

\begin{align*} &\,-\int\frac{1}{u}\mathop{}\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,-\ln\big\vert u\big\vert+C\\[4mm] =&\,-\ln\Big\vert\cos^2x+2\Big\vert+C \end{align*}

如果事先記得 $\dfrac{\mathop{}\mathrm{d}}{\mathop{}\mathrm{d}x}\cos^2x=-\sin2x$ ，

很快就能想到 $u=\cos^2x+2$ 。