週期函數的導數與反導數

題目

網上有位同學發問了如下問題：

這位同學想問，第一個是對的，但爲什麼第二個不對。

解答

首先，這個問題很明顯超出高中範圍，高中只討論多項式函數的微積分，有些老師喜歡從大學教材取材，但這樣給同學更多負擔之餘，對考試卻沒什麼幫助。若是少數同學單純喜歡學習數學、擴展新知，那當然無所謂，但對於大部分高三考生來說，現在距離考試不到兩個月了，應該把精力集中在符合大考趨勢的方向。

反例 1

再來，如果把這個當成單純考題，探討要如何確定該答這個選項錯誤，則可以簡單舉反例就好：

設 $ f(x)=\sin(x)+x $，$f'(x)=\cos(x)+1$，雖然 $f’$ 是週期函數，但 $f$ 並不是。

反例 2

上述這個例子不夠好，使用了超綱的三角函數求導。更簡單的例子是：

設 $ f(x)=x $，$f'(x)=1$，雖然 $f’$ 是週期函數，但 $f$ 並不是。

理論探討

若 $f$ 爲週期函數，則 $f’$ 也是週期函數

再深入探討一些，究竟爲什麼第一點成立而第二點不成立呢？根據導函數定義：

\begin{align}
\text{若} \quad&\,f(x+T)=f(x)\quad\forall x \,, \\[3mm]
\text{則} \quad&\;f'(x+T)\\[3mm]
\fbox{定義}\quad=&\,\lim_{h\to0}\frac{f(x+T+h)-f(x+T)}{h} \\[3mm]
\fbox{週期}\quad=&\,\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\[3mm]
=&\,f'(x)
\end{align}

可以看到，由於導函數 $f'(x)$ 是利用 $f(x)$ 的差商再取極限來定義的，過程中自然把週期性給傳遞了過來。

若 $f$ 爲週期函數，則 $f’$ 也是週期函數

由微積分基本定理：

\begin{aligned}
\text{若}\quad &f'(x+T)=f'(x)\qquad\forall x \,, \\[3mm]
\text{則}\quad &f(x+T)\\[3mm]
=&\int_a^{x+T}f'(t)\operatorname{d}\!t\\[3mm]
=&\int_a^{x}f'(t)\operatorname{d}\!t
+\int_x^{x+T}f'(t)\operatorname{d}\!t\\[3mm]
=&f(x)+\int_x^{x+T}f'(t)\operatorname{d}\!t
\end{aligned}

可以看到， $f(x+T)$ 與 $ f(x)$之間其實相差了 $\int_x^{x+T}f'(t)\operatorname{d}\!t$ ，其意義為曲線$y=f'(t)$ 的曲線下面積，範圍為 $t=x$ 到 $t=x+T$ 。如果這段範圍的曲線下面積沒有發生正負相消消光光，那就$f(x)$ 不會是週期函數。前面所舉反例，就可以由這個思路想出來。

不過，舉反例時有個更容易的切入點：如果$f'(x)$ 是個恆非負的週期函數，那麼$f(x)$ 豈不是遞增函數？一個遞增函數是不可能為週期函數的。