一道與絕對值有關的積分習題

題目

首先做個化簡：

\begin{align}&\,\int_{0}^{6}\bigl\vert2x-2a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]=&\,\int_{0}^{6}2\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x\\[3mm]=&\,2\int_{0}^{6}\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x=20\\[3mm]\Rightarrow \;&\,\int_{0}^{6}\bigl\vert x-a\bigr\vert\mathop{}\mathrm{d}x=10\end{align}

解答

解 1

 

因為左右兩段斜率分別為 $\pm1$，
很容易得知兩三角形的高分別也是 $a$ 與 $6-a$。
於是，由三角形面積：
\begin{align*}
\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}(6-a)^2=10\\[2mm]
\frac{1}{2}\big(a^2+36-12a+a^2\big)=10\\[2mm]
a^2-6a+18=10\\[2mm]
a^2-6a+8=0\\[2mm]
a=2\;\text{or}\;4
\end{align*}

 

解 2

我們要具備一個認知：
絕對值函數 $\abs{x}$ 其實是個分段定義函數：
\begin{align*}
\abs{x}= \begin{cases}x&\,x\ge0\\[1mm]-x&\,x<0\end{cases}
\end{align*}
以及
\begin{align*}
\abs{x-a} =\begin{cases}x-a&\,x\ge a\\[1mm]-x+a&\,x<a\end{cases}
\end{align*} 那麼，這個積分的下一步就是拆解為：
\begin{align*}
\int_{0}^{a}x-a\dx
+\int_{a}^{6}a-x\dx=10
\end{align*}
兩個積分分別做出來
\begin{align*}
&\,\bigg[\frac{x^2}{2}-ax\bigg]_0^a
+\bigg[ax-\frac{x^2}{2}\bigg]_a^6\\[2mm]
=&\,\bigg[\big(\frac{a^2}{2}-a^2\big)-\big(0-0\big)\bigg]
\\[1mm]
&\quad+\bigg[\big(
6a-18\big)-\big(a^2-\frac{a^2}{2}\big)\bigg]\\[2mm]
=&\,a^2+6a-18=10
\end{align*}
後續便和解 1 的結尾相同。