題目

已知 $0<a<6$ ，若 $\displaystyle\int_{0}^{6}\big\vert 2x-2a \big\vert\,\mathrm{d}x=20$ ，求 $a$ 。

解答

首先做個化簡：

\begin{align*} &\,\int_{0}^{6}\big\vert 2x-2a \big\vert\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_{0}^{6}2\big\vert x-a \big\vert\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,2\int_{0}^{6}\big\vert x-a \big\vert\,\mathrm{d}x=20\\[4mm] \Rightarrow \;&\,\int_{0}^{6}\big\vert x-a \big\vert\,\mathrm{d}x=10 \end{align*}

解

因為左右兩段斜率分別為 $\pm1$ ，
很容易得知兩三角形的高分別也是 $a$ 與 $6-a$ 。
於是，由三角形面積：

\begin{align*} \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}(6-a)^2=&\,10\\[4mm] \frac{1}{2}\big(a^2+36-12a+a^2\big)=&\,10\\[4mm] a^2-6a+18=&\,10\\[4mm] a^2-6a+8=&\,0\\[4mm] a=&\,2\;\text{or}\;4 \end{align*}

解

我們要具備一個認知：
絕對值函數 $\big\vert x\big\vert$ 其實是個分段定義函數：

\begin{align*} \big\vert x\big\vert= \begin{cases}x&,\,x\ge0\\[4mm]-x&,\,x<0\end{cases} \end{align*}

以及

\begin{align*} \big\vert x-a\big\vert =\begin{cases}x-a&,\,x\ge a\\[4mm]a-x&,\,x<a\end{cases} \end{align*}

那麼，這個積分的下一步就是拆解為：

\begin{align*} \int_{0}^{a}(a-x)\,\mathrm{d}x +\int_{a}^{6}(x-a)\,\mathrm{d}x=10 \end{align*}

兩個積分分別做出來：

\begin{align*} &\,\bigg[ax-\frac{x^2}{2}\bigg]_0^a +\bigg[\frac{x^2}{2}-ax\bigg]_a^6\\[4mm] =&\,\bigg[\big(a^2-\frac{a^2}{2}\big)-0\bigg] +\bigg[\big(18-6a\big)-\big(\frac{a^2}{2}-a^2\big)\bigg]\\[4mm] =&\,\frac{a^2}{2} + 18 - 6a + \frac{a^2}{2}\\[4mm] =&\,a^2-6a+18=10 \end{align*}

後續便和解法 1 的結尾相同，可解得 $a=2\;\text{or}\;4$ 。